Teorema de la máxima capacidad de Shannon

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En 1928 Harry Nyquist, un investigador en el área de telegrafía, publicó una ecuación llamada la Razón Nyquist que media la razón de transmisión de la señal en bauds. La razón de Nyquist es igual a 2B símbolos (o señales) por segundo, donde B es el ancho de banda del canal de transmisión. Así, usando esta ecuación, el ancho de banda de un canal telefónico de 3,000 Hz puede transmitido hasta 2x3,000, o 6,000 bauds o Hz.

Claude Shannon después de la investigación de Nyquist estudio el como el ruido afecta a la transmisión de datos. Shannon tomo en cuenta la razón señal-a-ruido del canal de transmisión(medido en decibeles o dB) y derivo el teorema de Capacidad de Shannon.

    C = B log2(1+S/N) bps

Un típico canal telefónico de voz tiene una razón de señal a ruido de 30 dB (10^(30/10)= 1000) y un ancho de banda de 3,000 Hz. Si sustituimos esos valores en el teorema de Shannon:

    C = 3,000 log2(1+1000) = 30,000 bps

     

Debido a que log2(1001) es igual al logaritmo natural de ln(1001)/ln(2) y es igual a 9.97, el teorema nos demuestra que la capacidad máxima* de un canal telefónico es aproximadamente a 30,000 bps.

Debido a que los canales de comunicación no son perfectos, ya que están delimitados por el ruido y el ancho de banda. El teorema de Shannon-Hartley nos dice que es posible transmitir información libre de ruido siempre y cuando la tasa de información no exceda la Capacidad del Canal.

Asi, si el nivel de S/N es menor, o sea la calidad de la señal es más cercana al ruido, la capacidad del canal disminuirá.

Esta capacidad máxima es inalcanzable, ya que la fórmula de Shannon supone unas condiciones que en la práctica no se dan. No tiene en cuenta el ruido impulsivo, ni la atenuación ni la distorsión. Representa el límite teórico máximo alcanzable.


¿Cuanto nivel de S/N requeririamos para transmisitir sobre la capacidad del canal telefónico, digamos a 56,000 bps?

 

 

De la formula de Shannon;

    C = B log2(S/N + 1) = bps bps = B log2(10^(dB/10) + 1)

    despejando los dB

    bps/B = log2(10^(dB/10) + 1)

    2^(bps/B) = 10^(dB/10) + 1

    10^(dB/10) = 2^(bps/B) - 1

    dB/10 = 1og10 (2^(bps/B) - 1)

    dB = 10*1og10 (2^(bps/B) - 1)


    sustituyendo

    B= 3,000 y bps = 56,000

    dB = 10*1og10 (2^(56,000/3,000) - 1)

    dB = S/N= 56.2 dB

    Lo que significa que si queremos rebasar el límite de Shannon debemos de aumentar el nivel de S/N.

 

Referencias:
A mathematical teory of communication (by shannon, PDF file)

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